Teknik Digital pt 3

Boolean Algebra

  • Boolean Aljabar (diambil dari nama penemunya George Boole) aljabar logika digital yang dipaki pada semua komputer
  • Boolean Aljabar representasi simbolik
  • Pada jaman Victorian (jaman kapan tuh?), matematikawan mulai untuk menerapkan prinsip formal ke Logika Aristotelian, yang membawa kita menuju logika simbolik tadi.
  • Teknisnya, “Aljabar Boolean” itu adalah kumpulan sistem logika, tapi bisa juga cuma 1 sistem, tergantung kebutuhan.
  • George Boole (1815-1864)
  • (gak sempet nyatet (GSN))

Boolean Algebra (2)

  • (Males Nyatet (MN))
  • (MN)
  • (MN)
  • (MN)
  • All computer circuits solve problems by performing Boolean transformations on binary (0-1) variables. (koq gak MN, rid? Nggak ah, di kasih tanda Veri Important Statement sih)

Boolean Algebra in the Computer

  • Pada komputer logika angka 1 dan 0 berkorespondensi terhadap Voltase:
    • “Positive Logic” menggunakan + voltase (misal 5 volt) untuk angka 1 dan mati (0 volt) untuk angka 0.
    • Kadang, “Negative Logic” (1 = 0V, 0 = +V) digunakan.
  • Ada 3 Kelas logika komputer/digital:
    • Combinational Logic — Outputnya berdasarkan hanya pada input, pernyataan logika internal, dan mungkin jam atau timing mekanisme (dipelajari kapan-kapan)
    • (MN)
    • (MN)
  • Ada 3 dasar Fungsi Boolean: AND, OR, dan NOT

Fungsi Boolean: Logika Negasi

  • NOT adalah fungsi paling sederhana dari Fungsi Boolean
  • NOT didefinisikan: Output f dari NOT, jika diberi input a, adalah kebalikan dari a, a.k.a f=a-

Karena hanya ada 1 & o, maka NOT dari 1 adalah 0, begitu sebaliknya.

Negasi

NOT

Tabel Kebenaran

Masih pada inget kan Tabel Kebenaran? Temennya Power Ranger! Pahlawan kebenaran! (haha, lucu ya?). Maksudku Tabel Kebenaran yang diajarin waktu kita masih kelas 1 SMA. Dibawah ini contoh tabel kebenaran.

Tabel Kebenaran (Misteri)

Tabel Kebenaran (Misteri)

*1 = benar, 0 = salah, Tabel ini masih Misteri karena belum diketahui fungsinya (mari kita cari tahu!)

Menurut kalian tabel diatas fungsinya gimana? Bingung? Baca terus aja dulu sampai bawah.

Logika AND

  • AND harus mempunyai 2 input, a dan b misailnya.
  • AND didefinisikan sebagai: a AND b = 1, jika dan hanya jika (if and only if (iff)) a = 1 dan b = 1.
  • AND dilambangkan sebagai tanda perkalian

Tabelnya:

Tabel Kebenaran AND

Tabel Kebenaran AND

Penulisan/Penggambarannya:

AND

AND

*Apakah AND fungsi dari Tabel Misteri? bukan. . .

Ilustrasi dari AND pada senter:

Ilustrasi AND

Ilustrasi AND

Lampu akan nyala kalau f = 1

Logika OR

  • OR didefinisikan: a OR b = 1 jika salah satu a atau b atau keduanya a dan b = 1
  • OR dilambangkan sebagai lambang penjumlahan

Tabelnya:

Tabel Kebenaran OR

Tabel Kebenaran OR

Penulisannya:

OR

OR

*Apakah OR fungsi dari Tabel Misteri? bukan. . .

Ilustrasi dari OR pada senter:

Ilustrasi OR

Ilustrasi OR

Lampu akan nyala kalau f = 1

Masih ada lagi…

Logika NAND dan NOR

  • NAND itu NOT AND
NAND

NAND

  • NOR itu NOT OR
NOR

NOR

Tabel kebenaran NAND:

Tabel Kebenaran NAND

Tabel Kebenaran NAND

*Apakah NAND fungsi dari Tabel Misteri? bukan. . .

Tabel kebenarannya NOR:

Tabel Kebenaran NOR

Tabel Kebenaran NOR

*Apakah NOR fungsi dari Tabel Misteri? bukan. . .

Fungsi Boolean yang lebih Kompleks: “Kombinasi Logika”

  • Remember:
    • Hanya ada 2 bolean variabel: 1 atau 0
    • Fungsi Boolean yang output f nya hanya bergantung pada inputnya disebut Kombinasi Logika (Combinational Logic)
    • Gak peduli seberapa kompleksnya, Fungsi Boolean dapat selalu didefinisikan menggunakan tabel kebenaran, seperti materi sebelumnya.

Dari awal tadi, sampe sini, bisa dilihat di file pdf ini (klik kalo mu donlod), halaman 39 – 47. Untuk yang selanjutnya bisa dilihat di sini, dari hal pertama sampai akhir

SOP dan POS

  • Fungsi AND yang kemudian diikuti oleh fungsi OR disebut Sum of Produts/SOP (Penjumlahan dari hasil perkalian)
SOP

SOP

  • Fungsi OR yang diikuti AND disebut Product of Sums/POS (Perkalian dari hasil penjumlahan)
POS

POS

Menggunakan Tabel Kebenaran untuk mencari Fungsi Boolean

. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .

(MN BGT, GPT sih!)

*Jujur, aku mulai nggak begitu ngerti pas udah sampe sini, , haduh gimana donk? Ada yang bisa bantu? Ya udahlah, aku lanjut aja deh, sebisa ku.

Bentuk SOP Boolean

Bayangkan kita punya output yang spesifik dari fungsi f untuk 8 kemungkinan kombinasi dari input x, y, dan z.

Contoh Tabel SOP

Contoh Tabel SOP

*itu f nya ngarang, cuma misalnya aja f nya tuh segitu.

Pertama kita cari persamaan untuk yang f = 1 yang pertama. f = x- . y . z. Iya khan? kita buktikan: x = 0, berarti x- = 1, y = 1, dan z = 1, jadi. . . f = x- . y . z = 1 . 1 . 1 = 1. Nah berarti untuk f = 1 yang kedua kita dapatkan f = x . y- . z

  1. f = x- . y . z
  2. f = x . y- . z

Bentuk POS Boolean

Contoh Tabel POS

Contoh Tabel POS

Untuk POS, pertama kita cari persamaan untuk yang f = 0 yang pertama pada tabel. f = x + y- + z. Iya khan? kita buktikan: x = 0, y = 1 berarti y- = 0, dan z = 0, jadi. . . f = x + y- + z = 0 + 0 + 0 = 0. Nah berarti untuk f = 0 yang kedua kita dapatkan f = x- + y- + z

  1. f = x + y- + z
  2. f = x- + y- + z

Kenapa pada SOP kita mencari f = 1, sedangkan POS f = 0?

Jawabannya adalah pada SOP (yang memakai fungsi AND dulu) Angka uniknya adalah 1, coba lihat di tabel kebenaran AND, 1-nya cuma ada satu sedangkan 0 nya 3. Begitu juga sebaliknya bagi POS (yang memakai fungsi oR), Coba lihat Tabel Kebenaran Fungsi OR.

SOP Vs POS

Suatu Tabel Kebenaran

Sekarang perhatikan tabel diatas baik-baik, agar penulisan/penggambaran rangkaiannya mudah kamu pilih yang mana?

a. POS: f = (x+y+z) · (x+y+z-) · (x+y-+z) · (x-+y+z) · (x-+y-+z) · (x-+y-+z-)
b. SOP: f = x-yz + xy-z

Jelaslah kita bakal milih yang b! Ya kan?

Latihan

Lihat Tabel di bawah ini gambarlah Sirkuitnya!

a

b

c

f

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

*Jelas dong SOP!

Jawaban Sirkuit

Selesai deh. . . Ngerti kan dengan penjelasanku?

Teorema Boolean: Komutatif

  • a + b = b + a
Komputatif

Komputatif

  • a . b = b . a
Komputatif

Komputatif

Teorema Bolean: Distributif

  • a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
Distributif

Distributif

  • a + (b . c) = (a + b) . (a . c) *Untuk yang ini agak beda dengan aturan Matematika. Tapi memang hal seperti ini bisa dilakukan dalam fungsi Boolean

Teorema Boolean penting yang lain

Penting

dan yang terakhir

  • x– = x

De Morgan’s Law

  • (x + y)- = x- + y-
    atau
    x + y = (x- + y-)-
  • (x . y)- = x- . y-
    atau
    x . y = (x . y)-

Menyederhanakan Fungsi Boolean

Misal:

f = abc + abc-
maka
f = ab (c + c-)
*Ingat x + x- = 1
maka

f = ab

Menyederhanakan persamaan yang lebih kompleks

Misal:

f = (((abc + ab + bc) . a + b) . c) + abc)

%*&^%^*^^&%&*%^& (Nah loe! Bingung!!). Kalau seperti ini sebaiknya kita gunakan tabel

Kompleks Tabel

*Pada tabel menggunakan SOP karena f = 1 nya lebih sedikit dibanding f = 0

Sehingga

f = a-bc + abc
f = bc (a- + a)
f = bc

*ta-da!*

Hufh!! Buanyak banget!! Tjapek!! Pelajaran hari ini cukup sekian dan terima kasih (terima kasihnya khusu bagi yang ngoment, yang nggak ya nggak. He3). Have a Nice day!🙂

6 responses to this post.

  1. msh g ngerti…

    Balas

  2. jawaban yang soalnya kayak begini gmna….
    ekivalen bilangan hexa desimal dgn bilangan biner 110101111(2) adalah……

    Balas

    • Posted by frdteknikelektro on 5 Oktober 2010 at 11:17 pm

      ya gampang ajalah. . .

      dar biner ke hexa tuh dipisah jdi 4 angka biner (dari belakang)
      1 1010 1111 (biner)
      1 10 15 (desimal)
      1 A F (hexanya

      Balas

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: