Teknik Komputasi pt 2

II. AKAR SUATU FUNGSI

2.1. Komputasi Iteratif (1)

  • Disini kita akan belajar mencari akar suatu fungsi (yang kedepannya di tulis x*) yaitu yang menyebabkan f(x) = 0. (bukan akar kuadrat lho!)
  • Suatu strategi Komputasi Iteratif dapat dilakukan untuk menetapkan akar fungsi ƒ(x).
  • Bertolak dari taksiran awal atas nilai x* yang diinginkan, dengan menggunakan sebuah metode, dibuat suatu deretan taksiran x1, x2, x3,  ………, xN, xN+1.
  • Deretan taksiran tersebut diharapkan konvergen kepada nilai x* yang dicari.
  • Apabila didefinisikan ek = abs(xk-x*) adalah galat taksiran yang ke-k, maka terbentuklah deretan galat ε0, ε1, ε2, ε3, …….. …. εN, εN+1 yang konvergen pada nilai nol.

2.1. Komputasi Iteratif (2)

Persoalan konkrit yang dihadapi dalam strategi komputasi iteratif adalah sebagai berikut :

  • Bagaimana taksiran awal dipilih
  • Bagaimana taksiran baru xk+1 ditetapkan dari deretan taksiran sebelumnya
  • Apakah deretan taksiran konvergen kepada nilai yang diinginkan
  • Bagaimana laju konvergensinya.

Pada dasarnya taksiran awal hanya satu buah saja yaitu x0 (pada metode Newton), atau dua buah saja yaitu x0 dan x1 (pada metode Sekan), atau tiga buah saja yaitu x0, x1, x2 (pada metode Muller)

2.1. Komputasi Iteratif (3)

Taksiran awal dapat ditentukan secara bebas, tapi lebih baik jika mendekati x*. Pada dasarnya metode yang digunakan dalam proses iterasi harus konvergen pada nilai x*. Laju konvergensi dapat diamati pada deretan galat taksiran, dapat didefinisikan sebagai berikut.

Laju konvergensi: xk+1 = C(xk)m , m>0

Laju konvergensi disebut linear jika m = 1, kuadratis jika m = 2, dan kubis jika m = 3, dan seterusnya. Makin tinggi harga m, makin tinggi laju konvergensinya, yang berarti makin laju menuju kepada nilai yang dicari.

2.2. Metode Newton

Metode Newton hanya memerlukan satu buah taksiran awal x0. Algoritma yang digunakan adalah:

Metode Newton

Metode Newton

Metode ini dijamin konvergen jika taksiran awal x0 dipilih cukup dekat dengan x*. Jika taksiran awal merupakan nilai real, maka nilai akan konvergen pada nilai real juga, kecuali jika nilai nol real memang tak ada, juga sebaliknya. Metode ini mensyaratkan tersedianya ƒ’(x) (diferensial pertama). Laju konvergensi metode Newton adalah kuadratis.

Newton's Method

Newton's Method

Langkah Metode Newton:

Untuk mencari solusi f(x) = 0, berikan 1 nilai pendekatan awal p0,

INPUT Inisialisasi p0; Toleransi TOL; Maksimum melakukan iterasi N0;

OUTPUT Solusi pendekatan p atau pesan gagal;

Step 1 Set i = 1;

Step 2 While iN0 do Step 3-6;

Step 3 Set p = p0 – (f (p0) / f ‘ (p0));  (Compute pi)

Step 4 If | p – p0| < TOL then

OUTPUT (p);  (Prosedur berhasil)

STOP.

Step 5 Set i = i + 1;

Step 6 Set p0 = p;  (Update nilai p0)

Step 7 OUTPUT (‘Metode gagal setelah melakukan iterasi sebanyak N0‘);  (Prosedur gagal)

STOP.

2.3. Metode Sekan

Metode ini memerlukan dua taksiran awal x0 dan x1. Rumus yang dipakai adalah:

Metode Sekan

Metode Sekan

Metode ini tidak mesyaratkan penetapan ƒ’(x). Laju konvergensi m = 1.62, lebih lambat daripada newton, tetapi tidak selambat laju konvergensi linear. Karena itu laju konvergensi 1 < m < 2 disebut superlinear.

Langkah Metode Sekan:

Untuk mencari solusi f(x) = 0, berikan 2 nilai pendekatan awal p0 dan p1;

INPUT Inisialisasi p0 dan p1; Toleransi TOL; Maksimum iterasi N0;

OUTPUT Solusi pendekatan p atau pesan gagal;

Step 1 Set i = 2;

q0 = f(p0);

q1 = f(p1);

Step 2 While iN0 do Step 3-6;

Step 3 Set p = p1(q1(p1p0)/(q1 – q0));  (Compute pi)

Step 4 If | p – p1| < TOL then

OUTPUT (p);  (Prosedur berhasil)

STOP.

Step 5 Set i = i + 1;

Step 6 Set p0 = p1;  (Update nilai p0, q0, p1, q1)

q0 = q1;

p1 = p;

q1 = f(p);

Step 7 OUTPUT (‘Metode gagal setelah melakukan iterasi sebanyak N0‘);  (Prosedur gagal)

STOP.

Hufh. . . itu dia yang dijelasin ma bapak nya. Anw setelah kulihat softcopy-nya (yang bisa di download di sini) metodenya banyak buanget!!. Sebelum pulang, dikasih hadiah dulu seperti biasa: PR!!

<!–[if !mso]> <! st1\:*{behavior:url(#ieooui) } –>

AKAR SUATU FUNGSI

2.1. Komputasi Iteratif (1)

Disini kita akan belajar mencari akar suatu fungsi (yang kedepannya di tulis x*) yaitu yang menyebabkan f(x) = 0. (bukan akar kuadrat lho!)

Suatu strategi Komputasi Iteratif dapat dilakukan untuk menetapkan akar fungsi ƒ(x).

Bertolak dari taksiran awal atas nilai x* yang diinginkan, dengan menggunakan sebuah metode, dibuat suatu deretan taksiran x1, x2, x3, ………, xN, xN+1.

Deretan taksiran tersebut diharapkan konvergen kepada nilai x* yang dicari.

Apabila didefinisikan ek = abs(xk-x*) adalah galat taksiran yang ke-k, maka terbentuklah deretan galat ε0, ε1, ε2, ε3, …….. …. εN, εN+1 yang konvergen pada nilai nol.

2.1. Komputasi Iteratif (2)

Persoalan konkrit yang dihadapi dalam strategi komputasi iteratif adalah sebagai berikut :

Bagaimana taksiran awal dipilih

Bagaimana taksiran baru xk+1 ditetapkan dari deretan taksiran sebelumnya

Apakah deretan taksiran konvergen kepada nilai yang diinginkan

Bagaimana laju konvergensinya.

Pada dasarnya taksiran awal hanya satu buah saja yaitu x0 (pada metode Newton), atau dua buah saja yaitu x0 dan x1 (pada metode Sekan), atau tiga buah saja yaitu x0, x1, x2 (pada metode Muller)

2.1. Komputasi Iteratif (3)

Taksiran awal dapat ditentukan secara bebas, tapi lebih baik jika mendakati x*.

Pada dasarnya metode yang digunakan dalam proses iterasi harus konvergen pada nilai x*.

Laju konvergensi dapat diamati pada deretan galat taksiran, dapat didefinisikan sebagai berikut.

Laju konvergensi: xk+1 = C(xk)m , m>0.

Laju konvergensi disebut linear jika m = 1, kuadratis jika m = 2, dan kubis jika m = 3, dan seterusnya. Makin tinggi harga m, makin tinggi laju konvergensinya, yang berarti makin laju menuju kepada nilai yang dicari.

2.2. Metode Newton

Metode Newton hanya memerlukan satu buah taksiran awal x0.

Algoritma yang digunakan adalah:

[GAMBAR]

Metode ini dijamin konvergen jika taksiran awal x0 dipilih cukup dekat dengan x*.

Jika taksiran awal merupakan nilai real, maka nilai akan konvergen pada nilai real juga, kecuali jika nilai nol real memang tak ada, juga sebaliknya.

Metode ini mensyaratkan tersedianya ƒ’(x) (diferensial pertama).

Laju konvergensi metode Newton adalah kuadratis.

[GAMBAR]

Langkah Metode Newton:

2.3. Metode Sekan

Metode ini memerlukan dua taksiran awal x0 dan x1.

Rumus yang dipakai adalah :

[GAMBAR]

Metode ini tidak mesyaratkan penetapan ƒ’(x). Laju konvergensi m = 1.62, lebih lambat daripada newton, tetapi tidak selambat laju konvergensi linear. Karena itu laju konvergensi 1 < m < 2 disebut superlinear.

Langkah Metode Sekan:

Hufh. . . itu dia yang dijelasin ma bapak nya. Anw setelah kulihat softcopy-nya (yang bisa di download di sini) metodenya banyak buanget!!. Sebelum pulang, dikasih hadiah dulu seperti biasa: PR!!

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: